격자구조 내 변형률, 응력 및 탄성계수(elastic constants)의 분석, analysis of elastic strains
이 포스팅은 Kittel의 저서 Introduction to Solid State Physics의 3장 내용의 일부를 따라가는 과정을 정리해 둔 것이다.
최근에 퍼텐셜 피팅을 진행하면서, 퍼텐셜 함수의 계수들을 결정하기 위해 탄성계수를 계산해야 하는 상황을 마주했다. 급한대로 결과를 내야 했기 때문에 Baskes의 1984년도 EAM 논문을 참고해서 일단은 명시된 수식을 그대로 코딩하고 탄성계수를 계산하긴 했으나, 그 당시에는 식의 의미를 100% 이해하고 넘어가진 못했다. 이번 포스팅은 그러한 점을 보완하기 위한 공부이다.
우리가 다루는 물질이 등방성 물질이라고 가정하자. 학부 시절, 우리가 변형률이나 응력을 계산할 때는 보통 연속체로서 물질을 다뤘다. 그러니까, 물질이 원자 하나하나의 결합으로 만들어진 구조체라고 보는 것이 아니라 그냥 하나의 덩어리라고 가정했다. 하지만 이러한 연속체 역학적 관점으로 변형을 해석하는 것은 최소한 elastic wave의 파장이 10^-8 m 이상일 때나 가능한 얘기이고, 이러한 문제가 미시적인 세계로 넘어가면, 이러한 해석 방법은 더이상 맞지 않게 된다.
우리는 연속체 역학에서 변형률과 응력을 계산하기 위해 Hooke's law와 Newton 제2법칙을 사용할 것이다. 다만, Hooke's law는 변형이 아주 작은 (= 변형이 선형적인) 구간에서만 유효한 법칙이며, 우리가 다루는 미시세계는 변형이 비선형적이라고 가정할 것이다.
앞으로는 여러가지 벡터를 정의할 것이다. 뻔한 이야기를 수식으로 풀어쓰는 과정이지만 수식 자체보다는 그 수식이 내포하는 의미를 잘 이해하는 것이 중요하다. 우리가 해석하고자 하는 고체 물질이 놓여있는 공간에 orthogonal한 세 개의 unit vector를 정의한다.
$$\textbf{x}', \textbf{y}', \textbf{z}'$$
이 고체 물질에 균일하면서도 작은 변형이 가해지면, 위에서 세 벡터로 정의한 축들의 방향과 길이는 다음과 같이 표현될 수 있을 것이다.
$$\textbf{x}' = (1+\epsilon_{xx})\widehat{\textbf{x}} + \epsilon_{xy}\widehat{\textbf{y}} + \epsilon_{xz}\widehat{\textbf{z}} $$
$$\textbf{y}' = \epsilon_{yx}\widehat{\textbf{x}} + (1+\epsilon_{yy})\widehat{\textbf{y}} + \epsilon_{yz}\widehat{\textbf{z} }$$
$$\textbf{z}' = \epsilon_{zx}\widehat{\textbf{x}} + \epsilon_{zy}\widehat{\textbf{y}} + (1+\epsilon_{zz})\widehat{\textbf{z}} $$
이때 epsilon은 변형된 정도를 나타내는 무차원량이며, 변형후의 각 축을 나타내는 벡터들의 크기는 더이상 1이 아닐수도 있다는 것을 확인할 수 있다. 이제 고체 물질 내에 어떤 원자의 움직임을 추적해보자. 원자의 초기 위치는 아래와 첫번째 줄과 같이 나타낼 수 있을 것이며, 변형 후 위치는 그 아래 줄과 같이 나타날 것이다. (이 때, 원점은 임의로 정한다.)
$$\textbf{r} = x\widehat{\textbf{x}} + y\widehat{\textbf{y}} + z\widehat{\textbf{z}}$$
$$\textbf{r}' = x\textbf{x}' + y\textbf{y}' + z\textbf{z}'$$
정의에 따라 위의 두 벡터는 각각 변형전 위치, 변형후 위치를 나타내므로 변위를 나타내는 벡터 R은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
$$\textbf{R} \equiv \textbf{r}' - \textbf{r} = x(\textbf{x}' - \widehat{\textbf{x}}) + y(\textbf{y}' - \widehat{\textbf{y}}) +z(\textbf{z}' - \widehat{\textbf{z}})$$
$$\textbf{R}(\textbf{r}) \equiv (x\epsilon_{xx}+y\epsilon_{yx}+z\epsilon_{zx})\widehat{\textbf{x}} +(x\epsilon_{xy}+y\epsilon_{yy}+z\epsilon_{zy})\widehat{\textbf{y}} + (x\epsilon_{xz}+y\epsilon_{yz}+z\epsilon_{zz})\widehat{\textbf{z}}$$
$$\textbf{R}(\textbf{r}) = u(\textbf{r})\widehat{\textbf{x}}+v(\textbf{r})\widehat{\textbf{y}}+w(\textbf{r})\widehat{\textbf{z}}$$
가장 마지막 식에서 위치벡터 r이 원점에서 매우 가깝다고 가정하고 Taylor expansion을 통해 1차미분항까지 표현해 나타내면 다음의 관계식을 얻을 수 있다.
$$x\epsilon_{xx} \cong x\partial{u}{x} ;\quad e$$
최근에 퍼텐셜 피팅을 진행하면서, 퍼텐셜 함수의 계수들을 결정하기 위해 탄성계수를 계산해야 하는 상황을 마주했다. 급한대로 결과를 내야 했기 때문에 Baskes의 1984년도 EAM 논문을 참고해서 일단은 명시된 수식을 그대로 코딩하고 탄성계수를 계산하긴 했으나, 그 당시에는 식의 의미를 100% 이해하고 넘어가진 못했다. 이번 포스팅은 그러한 점을 보완하기 위한 공부이다.
우리가 다루는 물질이 등방성 물질이라고 가정하자. 학부 시절, 우리가 변형률이나 응력을 계산할 때는 보통 연속체로서 물질을 다뤘다. 그러니까, 물질이 원자 하나하나의 결합으로 만들어진 구조체라고 보는 것이 아니라 그냥 하나의 덩어리라고 가정했다. 하지만 이러한 연속체 역학적 관점으로 변형을 해석하는 것은 최소한 elastic wave의 파장이 10^-8 m 이상일 때나 가능한 얘기이고, 이러한 문제가 미시적인 세계로 넘어가면, 이러한 해석 방법은 더이상 맞지 않게 된다.
우리는 연속체 역학에서 변형률과 응력을 계산하기 위해 Hooke's law와 Newton 제2법칙을 사용할 것이다. 다만, Hooke's law는 변형이 아주 작은 (= 변형이 선형적인) 구간에서만 유효한 법칙이며, 우리가 다루는 미시세계는 변형이 비선형적이라고 가정할 것이다.
앞으로는 여러가지 벡터를 정의할 것이다. 뻔한 이야기를 수식으로 풀어쓰는 과정이지만 수식 자체보다는 그 수식이 내포하는 의미를 잘 이해하는 것이 중요하다. 우리가 해석하고자 하는 고체 물질이 놓여있는 공간에 orthogonal한 세 개의 unit vector를 정의한다.
$$\textbf{x}', \textbf{y}', \textbf{z}'$$
이 고체 물질에 균일하면서도 작은 변형이 가해지면, 위에서 세 벡터로 정의한 축들의 방향과 길이는 다음과 같이 표현될 수 있을 것이다.
$$\textbf{x}' = (1+\epsilon_{xx})\widehat{\textbf{x}} + \epsilon_{xy}\widehat{\textbf{y}} + \epsilon_{xz}\widehat{\textbf{z}} $$
$$\textbf{y}' = \epsilon_{yx}\widehat{\textbf{x}} + (1+\epsilon_{yy})\widehat{\textbf{y}} + \epsilon_{yz}\widehat{\textbf{z} }$$
$$\textbf{z}' = \epsilon_{zx}\widehat{\textbf{x}} + \epsilon_{zy}\widehat{\textbf{y}} + (1+\epsilon_{zz})\widehat{\textbf{z}} $$
이때 epsilon은 변형된 정도를 나타내는 무차원량이며, 변형후의 각 축을 나타내는 벡터들의 크기는 더이상 1이 아닐수도 있다는 것을 확인할 수 있다. 이제 고체 물질 내에 어떤 원자의 움직임을 추적해보자. 원자의 초기 위치는 아래와 첫번째 줄과 같이 나타낼 수 있을 것이며, 변형 후 위치는 그 아래 줄과 같이 나타날 것이다. (이 때, 원점은 임의로 정한다.)
$$\textbf{r} = x\widehat{\textbf{x}} + y\widehat{\textbf{y}} + z\widehat{\textbf{z}}$$
$$\textbf{r}' = x\textbf{x}' + y\textbf{y}' + z\textbf{z}'$$
정의에 따라 위의 두 벡터는 각각 변형전 위치, 변형후 위치를 나타내므로 변위를 나타내는 벡터 R은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
$$\textbf{R} \equiv \textbf{r}' - \textbf{r} = x(\textbf{x}' - \widehat{\textbf{x}}) + y(\textbf{y}' - \widehat{\textbf{y}}) +z(\textbf{z}' - \widehat{\textbf{z}})$$
$$\textbf{R}(\textbf{r}) \equiv (x\epsilon_{xx}+y\epsilon_{yx}+z\epsilon_{zx})\widehat{\textbf{x}} +(x\epsilon_{xy}+y\epsilon_{yy}+z\epsilon_{zy})\widehat{\textbf{y}} + (x\epsilon_{xz}+y\epsilon_{yz}+z\epsilon_{zz})\widehat{\textbf{z}}$$
$$\textbf{R}(\textbf{r}) = u(\textbf{r})\widehat{\textbf{x}}+v(\textbf{r})\widehat{\textbf{y}}+w(\textbf{r})\widehat{\textbf{z}}$$
가장 마지막 식에서 위치벡터 r이 원점에서 매우 가깝다고 가정하고 Taylor expansion을 통해 1차미분항까지 표현해 나타내면 다음의 관계식을 얻을 수 있다.
$$x\epsilon_{xx} \cong x\partial{u}{x} ;\quad e$$
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