Kagnouy's Singularity

오늘은 reciprocal lattice와 물리 공간상에서 격자구조를 기술하는 Bravais lattice, 이 두 가지 격자가 어떻게 다르며, 또 어떻게 연결되어 있는지 알아보겠다. Reciprocal lattice의 도입은 아래와 같이 간단한 한가지 생각에서 출발했다. "결정 구조는 특유의 대칭성과 반복성으로 인해 배열구조가 특정 방향을 따라 주기적인 특성을 갖고 있다. 그렇다면, 이 구조가 갖는 물리적인 특성들도 주기성을 띄지 않을까?" 주기성 하면 자동으로 떠오르는 것이 파형 아닌가.  따라서 주기성을 염두해 결정구조체의 물성을 이해하고자 하는 시도는 plane wave를 이용해 격자 배열을 기술하는 방식, 즉, reciprocal lattice를 도입하는 것으로 이어졌다. 자, 그럼 이제부터는 천천히 reciprocal lattice의 기술 방식을 살펴보겠다. 우선 파형을 사용하기로 했으니 'k'라는 임의의 wave vector로 기술되는 간단한 plane wave 식을 가져오자. $$ \Psi_{k}(r) = \Psi_{0} \cdot e^{i \bf{k} \cdot \bf{r}} $$ 이 때, 'r'은 임의의 위치벡터이며, 위치 공간 내에 존재하는 이 결정구조의 Bravais lattice는 정의에 따라 아래와 같은 벡터 집합으로 정의되어 있다. 여기서 m, n, o는 정수이며, a1부터 a3 까지의 벡터는 Bravais lattice의 basis vectors이다. $$ \textbf{R} = m \textbf{a}_{1} + n \textbf{a}_{2} + o \textbf{a}_{3} $$ position vector에 대응하는 Bravais lattice가 'R'이고, wave vector에 대응하는 reciprocal lattice는 'k'이다. (이후에 알 수 있지만, reciprocal lattice도 Bravais lattice임)