Kagnouy's Singularity

비리얼, 'virial'이란 표현은 'force'를 뜻하는 'vis'에서 유래됐다. 오늘은 비리얼에 대해서 이야기를 해보고자 한다. 지금까지 분자동역학(molecular dynamics, MD)을 공부하면서 '비리얼'이란 단어는 종종 들어봤지만, 내가 직접 비리얼 계수(virial coefficient)나 비리얼 응력(virial stress), 비리얼 압력(virial pressure) 등을 계산하거나, 이를 통해 퍼텐셜을 피팅해 본 적이 없기에 그냥 위키피디아에 한번 쳐보고 뭔지 모르겠다며 지나간 기억이 있다. 그런데 최근에 여러 통계역학적인 기초들, 그리고 분자동역학의 기초 기술들을 차근차근 공부하다보니 한번쯤 짚고 넘어가야 하는 주제라 생각해서 정리해보고자 한다. 내가 비리얼을 구글링하여 처음에 마주친 것은 'virial coefficient'라는 것이었다. 고등학교 시절, 우리는 이상기체의 거동을 나타내는 상태방정식으로 다음의 등식을 배웠다. $$PV  = nRT$$ 헌데, 이 상태방정식은 이상기체를 해석하는데에만 유효하며, 우리는 실재하는 분자들로 구성된 기체를 해석하기 위해 압축인자(compressibility factor) 'Z' 라는 것을 도입했다. 압축인자는 아래와 같이 정의된다. $$Z = \frac{PV}{nRT}$$ 여기서 압축인자는 상태방정식에 곱해지는 hyper parameter이며, 현재 관찰하는 기체의 거동이 이상기체의 거동으로부터 얼마나 벗어나 있는가를 나타내는 척도로 사용된다. 당연한 얘기지만 압축인자가 1일 경우 상태방정식이 정확히 이상기체상태방정식과 동일해진다. 다시 virial로 돌아가서, 'virial coefficient'는 이 압축인자를 결정하는 하나의 방법으로 'virial expansion'이라는 방식을 사용할 때, 이 expansion set의 항에 들어가는 계수들(

이 포스팅은 Kittel의 저서 Introduction to Solid State Physics의 3장 내용의 일부를 따라가는 과정을 정리해 둔 것이다. 최근에 퍼텐셜 피팅을 진행하면서, 퍼텐셜 함수의 계수들을 결정하기 위해 탄성계수를 계산해야 하는 상황을 마주했다. 급한대로 결과를 내야 했기 때문에 Baskes의 1984년도  EAM 논문을 참고해서 일단은 명시된 수식을 그대로 코딩하고 탄성계수를 계산하긴 했으나, 그 당시에는 식의 의미를 100% 이해하고 넘어가진 못했다. 이번 포스팅은 그러한 점을 보완하기 위한 공부이다. 우리가 다루는 물질이 등방성 물질이라고 가정하자. 학부 시절, 우리가 변형률이나 응력을 계산할 때는 보통 연속체로서 물질을 다뤘다. 그러니까, 물질이 원자 하나하나의 결합으로 만들어진 구조체라고 보는 것이 아니라 그냥 하나의 덩어리라고 가정했다. 하지만 이러한 연속체 역학적 관점으로 변형을 해석하는 것은 최소한 elastic wave의 파장이 10^-8 m 이상일 때나 가능한 얘기이고, 이러한 문제가 미시적인 세계로 넘어가면, 이러한 해석 방법은 더이상 맞지 않게 된다. 우리는 연속체 역학에서 변형률과 응력을 계산하기 위해 Hooke's law와 Newton 제2법칙을 사용할 것이다. 다만, Hooke's law는 변형이 아주 작은 (= 변형이 선형적인) 구간에서만 유효한 법칙이며, 우리가 다루는 미시세계는 변형이 비선형적이라고 가정할 것이다. 앞으로는 여러가지 벡터를 정의할 것이다. 뻔한 이야기를 수식으로 풀어쓰는 과정이지만 수식 자체보다는 그 수식이 내포하는 의미를 잘 이해하는 것이 중요하다. 우리가 해석하고자 하는 고체 물질이 놓여있는 공간에 orthogonal한 세 개의 unit vector를 정의한다. $$\textbf{x}', \textbf{y}', \textbf{z}'$$ 이 고체 물질에 균일하면서도 작은 변형이 가해지면, 위에서 세 벡터로 정의한 축들의 방향과 길이는 다